Relación Existente entre E y H

En una onda plana uniforme que viaja en la dirección de z, E y H son independientes de x e y, simultáneamente E y H carecen de componente en z. En este caso:

De igual forma

así podemos escribir las primeras dos ecuaciones de Maxwell de la forma:

Igualando los términos en las componentes x e y se obtienen las cuatro relaciones:

Si tenemos en cuenta que  , entonces:

Sustituyendo

si integramos en función de z para encontrar H_x

como  , resulta:

La constante de integración, C, que aparece indica que pudiera estar presente un campo independiente de z. En tanto este campo no forme parte del movimiento de la onda se puede despreciar, y la relación entre el campo H_y y E_x será:

Teniendo en cuenta que E² = E_x² + E_y² e  H² = H_x² + H_y², siendo E y H las intensidades totales de los campos eléctricos y magnéticos, resulta también:

En una onda electromagnética progresiva plana hay una razón definida entre las amplitudes de E y H, y es igual a la raíz cuadrada del cociente entre la permeabilidad y constante dieléctrica del medio. Suele llamarse a esta razón impedancia característica o impedancia intrínseca del medio (no conductor).

Cuando el medio es el espacio libre o vació, se emplea el subíndice o, y el valor de la impedancia intrínseca es:

Espacio Libre

Antes de obtener la solución del caso general, es instructivo considerar el caso simple, aunque importante, de los fenómenos electromagnéticos en el espacio libre, o mejor dicho, en un dieléctrico perfecto exento de cargas (ρ=0) y de corrientes de conducción (J=0).

En este caso las ecuaciones vectoriales en forma diferencial de Maxwell se reducen a:

Partimos de la 2da ecuación y sacamos el rotacional en ambos miembros:

Como el rotacional es una diferenciación con respecto al espacio, podemos invertir el orden

Como μ y ε son independientes del tiempo, podemos invertir el orden de la diferenciación en y reemplazar (1.1)

recordando la identidad de Álgebra Vectorial, rotor del rotor de E, es igual al gradiente de la divergencia de E menos el Laplaciano de E

Combinando esta ecuación con la (1.6), obtenemos

Pero al ser el medio exento de cargas, la divergencia es nula  

La ecuación anterior se convierte en:

que es la Ley que debe obedecer el campo eléctrico E.

Si diferenciamos (1.2) y tomamos el rotacional a (1.1), siguiendo un procedimiento análogo encontramos que H obedece a la misma ley, es decir:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) se conocen como Ecuaciones de Helmholtz (ecuaciones de onda electromagnetica), son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden cuya solución son las ecuaciones de onda. La primera condición, tanto para E y H, es que deben satisfacer la ecuación de onda. Notar que aunque E y H obedezcan a la misma ley, E no es igual a H.

Ondas Planas Uniformes Transversales

Si expresamos el Laplaciano del vector campo eléctrico “E” en forma vectorial en función de sus componentes:

El vector campo eléctrico E, de la ecuación anterior equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente escalar de E. Analizando cada componente escalar obtenemos nueve términos con derivadas segundas:

La ecuación (1.8) y por lo tanto la ecuación de onda se reduce en una forma muy simple en el caso especial en que E y H se consideren independientes de dos de las dimensiones: por ej, x e y.

Entonces el campo eléctrico solo será función de la dirección z:

En general, para una propagación plana y uniforme de una onda en dirección z, E puede tener componentes Ex y Ey pero no la Ez. Esto se debe a que la divergencia de E es igual a cero

En una onda plana uniforme en la que E sea independiente de x e y, son nulos los dos primeros términos de esta relación, de manera que se reduce a:

Por tanto, no hay variación de Ez en la dirección de z, esto exige que Ez sea o bien cero, constante en el tiempo o creciente uniformemente. Un campo que satisfaga a cualquiera de estas dos últimas no sería parte de una onda móvil, y por ello Ez puede igualarse a cero.

Si consideramos un medio homogéneo podemos ceñir nuestra atención a una de las componentes sin mengua de la generalidad, por ejemplo la Ex “componente en x”, de los nueve términos iniciales de (1.11) nos quedamos con uno solo

de manera que (1.8) queda de la forma:

Esta ecuación, es un caso particular de la Ecuación de Helmholtz general (1.8) , y se caracteriza por tener un término con derivada segunda con respecto al espacio y otro término con derivada segunda con respecto al tiempo.

La solución general es de la forma

Donde C₁ y C₂ son constantes de amplitud, v_o es velocidad y f₁ y f₂ son funciones cualquiera (no necesariamente las mismas) que representan dos ondas, una que viaja hacia la derecha (alejándose de su generador) y otra que va hacia la izquierda (de vuelta al generador). Ex se compone de una onda incidente (1) y otra onda reflejada (2)

La expresión f(z-v_ot) representa la función f de la variable (z-v_ot), z indica el sentido de propagación y el signo negativo señala que la dirección de propagación es en el sentido positivo del eje.

Demostración de la Solución

Si derivamos (1.15) dos veces seguidas en función de z

Si ahora derivamos la solución general con respecto al tiempo

Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la derivada segunda de la solución general con respecto al tiempo:

Ordenando la expresión tendremos:

Demostrando la igualdad de las ecuaciones (1.16) y (1.17).

Relación entre E y H. Impedancia Intrinseca de un Medio –>

Un medio lineal es un medio que simultáneamente cumple las condiciones de ser Homogéneo, Isotrópico, Pasivo y Continuo.

La definición de un medio Homogéneo, es la de aquel que tiene las constantes del campo eléctrico, magnético y de conducción constantes, esto es:

ε = permitividad constante  (faradios/metro)
μ = permeabilidad constante  (henry/metro)
σ = conductividad constante  (mho/metro)

La definición del medio Isotrópico, es la de aquel que la densidad del campo eléctrico es paralela a la intensidad de campo eléctrico, la densidad de campo magnético es paralela a la intensidad de campo magnético y la densidad de corriente de conducción es paralela a la intensidad de campo eléctrico. Esto expresado matemáticamente es: de campo magnético es paralela a la

D || E        B || H      J || E

para que suceda, es necesario que las constantes que representan el campo electromagnético y de conducción sean puramente reales.

Entonces con estas dos condiciones tenemos que:

ε = constante y real
μ = constante y real
σ = constante y real

Si ahora agregamos la condición de que no debe existir ningún generador de onda electromagnética, la onda existe, pero no conocemos la causa que la origina. Esta condición nos indica que el medio es pasivo.

Un medio continuo es aquel que mantiene la misma impedancia de campo, esto permite trabajar con las ecuaciones de Maxwell en su forma vectorial diferencial.

En el articulo anterior se estudio lo que sucede con las componentes tangenciales y ahora nos vamos a enfocar en las componentes normales.

Componentes Normales de la Densidad de Campo Eléctrico

.

Dos medios dieléctricos

En este caso la superficie de frontera se encuentra en X = 0, y separa dos medios dieléctricos distintos (indicados en los subíndices).

El componente normal del campo que estamos empleando es de la D (densidad de campo eléctrico). De acuerdo con las condiciones de medios diferentes y la parte de campo eléctrico empleado, trabajaremos con la tercera ecuación de Maxwell que se encuentra en su forma vectorial integral.

Tenemos en la ecuación una superficie cerrada que está originando en nuestro caso un volumen cilíndrico, por lo que debemos de trabajar en este volumen, en la siguiente figura podemos ver una representación

La superficie de frontera está en el plano YZ, las superficies siempre se consideran como un vector saliente del volumen de que forman parte, cuyo modulo es igual a la superficie. Resolviendo la ecuación de  Maxwell:

para llegar a la superficie de frontera, estando el volumen abarcando los dos medios, tendremos que hacer que ΔX tienda a cero, considerando que la densidad de carga volumétrica, ρ, es finita:

siendo la tercera condición de frontera, para el caso de los dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

“La componente normal de la densidad de campo eléctrico, para dos medios dieléctricos es continua“, lo que vale en un medio es lo mismo que vale en el segundo medio.

Un medio conductor

Consideremos ahora que el medio 2 es un conductor perfecto. Seguimos analizando lo que sucede con la componente Dn en la superficie de frontera. Sabemos que dentro de un medio conductor no existe campo eléctrico, E, y tampoco existe Dn (densidad de campo eléctrico), por lo que ya podemos adelantar que la componente no va a ser continua.

Nota: en la imagen hay un error, σ1 es igual a cero no infinito.

Seguimos empleando la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral.

Para llegar a la condición de frontera tenemos que hacer ΔX → 0. Como vimos en el articulo anterior, la densidad de carga volumétrica debido a la fuerza eléctrica originada entre las cargas eléctricas de repulsión e interpretada por la Ley de Coulomb hará que sean expulsadas en un tiempo infinitesimalmente pequeño, llamado tiempo de relajación hasta la superficie del conductor, ya que en ese lugar encuentran a un dieléctrico que tiene un nivel de energía  superior al de la fuerza de la Ley de Coulomb y las detiene.

Al ser el número de cargas un número constante, al tender ΔX a cero el elemento de volumen se transforma en una superficie, en consecuencia:

siendo ρs una densidad de carga superficial, medida en C/m².

Al hacer ΔX → 0, obtenemos:

Siendo la tercera condición de frontera, para el caso de que uno de los medios sea un conductor. Esta condición nos dice:

“La componente normal de la densidad de campo eléctrico es discontinua, ya que en el medio conductor aparece una densidad de carga superficial”.

Se puede apreciar lo parecido que es con respecto a la 2da condición de frontera, para el caso en que un medio es un conductor. Ahí aparece en el conductor una densidad de corriente lineal en la superficie Jcs que es precisamente la que origina la densidad de carga superficial ρs, en movimiento sobre la superficie del conductor.

Componente Normal de la Densidad de Campo Magnético

Debido a que el campo magnético función del tiempo, sólo puede existir en medios dieléctricos, la condición que debemos de poner es que los dos medios deber ser dieléctricos.

Al hablar de 2 medios dieléctricos diferentes y en ellos queremos conocer la densidad de campo magnético normal, la ecuación que debemos  emplear es la cuarta ecuación de Maxwell en su forma integral.

La siguiente figura representa los dos medios con la superficie de frontera entre ellos, así como las componentes de B.

El desarrollo de la cuarta ecuación de Maxwell nos queda:

que es la cuarta condición de frontera para dos medios dieléctricos:

“La componente normal de la densidad de campo magnético es continua, ya que lo que aparece en un medio es lo mismo a lo que aparece en el otro medio”.

Con esto terminamos toda la bolilla dedicada a las Condiciones de Frontera, como pudieron ver son temas sencillos solo hay que perderle el miedo a als ecuaciones de Maxwell.

Medios de Enlace

• Condiciones de Frontera – 1 Parte
• Condiciones de Frontera – 2da Parte

Se define como Superficie de Frontera SF al plano en donde se unen dos medios con distintas características.

Componente Tangencial de E

Vamos a considerar una superficie gaussiana rectangular de Δx de ancho y Δy de alto, la cual se encuentra centrada en la SF que separa a dos medios dieléctricos perfectos quedando definido cada uno por la terna ε, μ y σ, al ser los dos medios dieléctricos, la constante de conductividad σ será igual a cero.

La intensidad de campo eléctrico tendrá dos componentes de acuerdo al plano XY, llamándoles tangente a la superficie de frontera Ey y normal a la superficial de frontera Ex.

La discontinuidad se los medios se encuentra en x = 0

Al no trabajar con un medio continuo debemos emplear las ecuaciones de Maxwell en forma integral. Al estar hablando de E, la ecuación correspondiente será la segunda, o sea:

Si resolvemos las integrales

igualando los miembros y haciendo que el ancho del rectángulo tienda a cero (Δx → 0), pero aún conservando en su centro la discontinuidad de los medios. El valor de las componentes de la intensidad de campo eléctrico es finito, por lo que al estar multiplicados por Δx (infinitesimalmente pequeño) serán iguales a cero, por lo que tendremos

que es precisamente la primera condición de frontera, que nos dice

“El componente tangencial de la intensidad de campo eléctrico en dos medios dieléctricos es continua“, lo que hay en un medio es igual a lo que hay en el otro medio.

Componente Tangencial de H

Al igual que en el caso anterior, tenemos dos medios dielectricos.

Lo único que varia es que en lugar de trabajar con la intensidad del campo eléctrico (E) ahora trabajamos con la intensidad del campo magnético (H) por lo que debemos emplear la primera ecuación de Maxwell.

Las componentes de la intensidad de campo magnético son cantidades finitas, al igual que la densidad de corriente y la densidad de campo eléctrico. Si aplicamos la fórmula de la 1ra ecuación a nuestra trayectoria cerrada, igualamos y hacemos tender a cero a Δ, tendremos

siendo la segunda condición de frontera, para el caso particular de dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

“El componente tangencial de la intensidad de campo eléctrico en dos medios dieléctricos es continua” lo que vale en un dieléctrico, es lo mismo a lo que valdrá en el dieléctrico contiguo.

Medio Conductor

Consideramos el caso en el cual el medio 2 ahora es un conductor perfecto.

Es necesario recordar que en un medio conductor perfecto, la E = f (t) dentro del medio es igual a cero,  y por lo tanto la B = f (t) también será igual a cero; esto es, el componente tangencial By será discontinuo, pues dentro del medio conductor perfecto no hay B.

Analicemos lo que sucede con los electrones que forman la corriente de conducción en el  medio conductor. La corriente está originada por cargas eléctrica en movimiento y el movimiento será función de la frecuencia, matematicamente:

además la Ley de Columb nos indica que cargas de igual signo se repelen mutuamente.

Los electrones se encuentran sometidos a 2 fuerzas, una debido a la que origina la densidad de corriente Jc y la otra debido a la repulsión, por lo que la fuerza resultante es R.

La corriente eléctrica es función de la frecuencia I = f (t) y f (t)  = eˆjwt, si representamos la parte real de la corriente

podemos apreciar que se hace cero 2 veces en un periodo. Las ondas electromagnéticas son de frecuencias muy elevadas, si tomamos un tiempo fijo, a mayor frecuencia mayor sera la cantidad de veces que la densidad de corriente se hace cero, en esos instantes de tiempo sobre los electrones solo queda la acción de la Fc (fuerza de repulsión de Coulomb) y como el medio es un conductor perfecto, no hay ninguna oposición a que las cargas eléctricas se muevan y por lo tanto se separaran (b).

Esto originará que en un tiempo muy corto, alrededor de 10^-19 seg, llamado tiempo de relajación todos los electrones sean repelidos hacia la superficie del conductor lugar que no pueden abandonar al verse rodeados por un dieléctrico el cual posee mayor energía potencial (c).

Como resultado de esto la densidad de corriente de conducción Jc se transforma en una densidad de corriente lineal en la superficie del medio conductor, Jcs, la cual se mide en A.1/m, siendo los 1/m en la superficie del conductor, no la profundidad.

matemáticamente

empleando la primera ecuación de Maxwell encontramos

Si la E dentro del medio conductor es cero, la intensidad de campo magnético en el medio conductor también debe ser cero. Hy2 = 0. El último resultado está expresado en función de fasores, siendo n normal a la superficie de frontera en la dirección al medio conductor, que en nuestro caso es en la dirección positiva del eje de las X.

resumiendo, la segunda condición de frontera, para el caso en el que uno de los medios sea un conductor perfecto indica:

“El componente tangencial de la H, es discontinua, pues en el medio conductor aparece una densidad de corriente superficial“

Este caso es muy importante en la practica, ya que nos permite comprender la existencia de las antenas, tanto receptoras como transmisoras.

En las antenas receptoras, la componente de la intensidad de campo mágnetico H de la onda electromagnética que está viajando en un dieléctrico (aire), incide en la antena la cual es un medio conductor, a la cual rodea, debido a que el campo magnético es una trayectoria cerrada siendo en consecuencia tangente al medio conductor, originando a lo largo de la antena una densidad de corriente superficial Jcs.

Esta densidad de corriente posee la misma información (modulación) que la onda electromagnética y al circular por el receptor origina una señal (diferencia de potencial) que es amplificada al nivel necesario para poder usarla, ser oída, vista, etc.

En una antena transmisora, una corriente de alta frecuencia  es enviada por el transmisor al elemento radiador. La densidad de corriente Jc se transforma en el medio conductor debido a la alta frecuencia y a la alta conductividad en una densidad de corriente lineal en la superficie, tangente al aire (medio dieléctrico), originando en este una intensidad de campo magnético H tangencial, que a su vez originará una intensidad de campo eléctrico E, y la E otra H y asi sucesivamente formándose y propagándose la onda por el aire.

Medios de Enlace

• Condiciones de Frontera – 1 Parte
• Condiciones de Frontera – 2da Parte

A continuación van a encontrar los conceptos y definiciones que por experiencia propia se que son absolutamente necesarios conocer antes de sentarse a estudiar.

Sistemas de Coordenadas

Para solucionar los problemas físicos se necesita el marco de referencia de un sistema de coordenadas, especialmente si se buscan soluciones explícitas. El más conocido es el sistema de coordenadas rectangulares, aunque se usan con frecuencias otros dos sistemas de referencia: coordenadas circulares cilíndricas y el de coordenadas esféricas.

En la siguiente imagen podemos ver la forma en la cual ubicamos un punto P en el espacio según el tipo de sistema de coordenadas:

Campos

Por campo se entiende una función matemática de espacio y tiempo. Los campos se puede clasificar como escalares o vectoriales.

Un campo escalar es una función que en cada instante tiene una magnitud asignable en cada punto de una extensión en el espacio, mientras que un campo vectorial es aquel donde cada punto tiene definido una vector con modulo, dirección y sentid, por ej la veloc de un fluido que se mueve dentro de un tubo ilustra un campo vectorial.

Derivada Direccional

La derivada direccional de una función de varias variables, es el valor de cambio de la función en una dirección determinada.

Gradiente

El gradiente de una función escalar Ф es un vector cuya magnitud es la máxima derivada direccional en el punto en consideración y cuya dirección es la dirección de a máxima derivada direccional de ese punto.

En coordenadas rectangulares queda definido como:

Divergencia

La divergencia de un vector F se define como el limite de su integral de superficie por unidad de volumen a medida que el volumen encerrado por la superficies tiende a cero:

en coordenadas rectangulares obtenemos

Teorema de la divergencia

La integral de la divergencia de un vector sobre un volumen V es igual a la integral de superficie de la componente normal del vector sobre la superficie que limita V

Rotacional

La componente de rotor de un vector F en la dirección del vector unitario a es el limite de una integral de línea por unidad de área, a medida que el área encerrada tiende a cero, siendo esta área perpendicular al vector

La forma del rotacional en coordenadas rectangulares la podemos obtener resolviendo el siguiente determinante

Teorema de Stokes

La integral de línea de un vector alrededor de una curva cerrada es igual a la integral de la componente normal de su rotacional sobre cualquier superficie limitada por la curva

Operador Vectorial Diferencial (nabla)

Este operador está definido en coordenadas cartesianas como:

Se aplica solamente delante de una función de (x,y,z) la cual queda así diferenciada, es un vector que obedece a las leyes del álgebra vectorial. Nos permite realizar una notación alternativa para los tres tipos de diferenciación vectorial que se definió anteriormente: el gradiente, la divergencia y el rotacional

Las operaciones expresadas son por si mismas independientes de cualquier elección especial del sistema de coordenadas

Propiedades Importantes

Una operación doble de mucha importancia es la divergencia del gradiente de un campo escalar, este operador combinado se conoce como el operador Laplaciano y se expresa en coordenadas rectangulares como:

Ecuaciones de Maxwell

Les ecuaciones de Maxwell representan expresiones matemáticas de ciertos resultados experimentales, son las ecuaciones básicas para los campos electromagnéticos producidos por fuentes de carga y densidades de corrientes ρ y J.

Les ecuaciones constitutivas que se utilizan para trabajar con cuerpos materiales son (y que están implícitas en las de Maxwell), son:

E: campo eléctrico                D: densidad de campo eléctrico

H: campo magnéticos          B: densidad de campo magnético

J: densidad de corriente      σ: conductividad

ε: permitividad                       μ: permeabilidad

La ecuación de continuidad ya se encuentra expresada en la 1º ecuación de Maxwell.

• La primera ecuación es la Ley generalizada de Ampere que relaciona una corriente eléctrica con el campo magnético producido por este (regla de la mano derecha).

• La segunda es la Ley de inducción electromagnética de Faraday, la cual establece que el oltage inducido en un circuito cerrado es proporcional a la rapidez con la que cambia en el tiempo el flujo magnético.

• La tercera es la Ley de Gauss, que a su vez se deduce de la Ley de Coulomb que expresa que el número de líneas de campo que atraviesan una superficie cerrada es proporcional a la carga neta comprendida dentro de la superficie cerrada.

• La última representa el hecho de que los monopolos magnéticos nunca han sido observados

Forma vectorial diferencial de las Ecuaciones de Maxwell

Empleadas cuando el medio es continúo

Forma integral de las Ecuaciones de Maxwell

Para medios discontinuos

Forma fasorial de las Ecuaciones de Maxwell

Empleadas cuando se consideran variaciones sinusoidales en el tiempo

En medios de enlace se conduce al alumno a la compresión de los fenómenos electromagnéticos dinámicos descriptos por las ecuaciones de Maxwell, poniendo el énfasis en la propagación de ondas planas, su interaccion con la materia y las condiciones de contorno.

Se introduce el concepto de lineas de transmisión desde el doble enfoque del análisis de campos y de la aproximación de circuitos de parámetros distribuidos, capacitando al alumno en el análisis de transitorios y estacionarios, mediciones de parámetros y diseño de adaptadores de impedancia mediante técnicas gráficas y analíticas.

Se analiza la  propagación a través de guías de ondas metálicas de diferentes geometría y de guias dieléctricas comparando anchos de banda y rangos de frecuencia de utilización. Finalmente se establecen los fundamentos de radiación, antenas y arreglos de antenas proporcionando al alumno los parámetros fundamentales para su comparación

Los tema que voy a ir desarrollando con el tiempo son:

• Conceptos Básicos Necesarios
• Condiciones de Frontera
• Ecuación de Onda Electromagnética
  
• Polarización
• Vector de Poynting
• Reflexión Natural entre dos Medios Dieléctricos
  
• Reflexión Normal entre dos Medios Dieléctricos
  
• Reflexión Normal sobre un Conductor Perfecto
• Cálculo Analítico y Gráfico del Campo Total en Reflexión Normal
• Reflexión Oblicua
• Guías de Onda
• Líneas de Transmisión
• Adaptación de Líneas de Transmisión
• Radiación
• Antenas
• Fibras Opticas

Bibliografia Recomendada

• “Fundamentos de Electromagnetismo para Ingeniería”, D.K.Cheng. Addison-Wesley Iberoamericana.

• “Electromagnetismo”, J.D.Kraus. McGraw Hill.(Tercera edición-Primera edición en español)

• “Ondas electromagnéticas y sistemas radiantes”, E.C.Jordan y Balmain. Prentice-Hall.

• “Fundamento de las ondas eléctricas”, H.H.Skilling. Ed. Librería del Colegio.

• “Elementos de Electromagnetismo”, M. Sadiku. Ed. CECSA.

• “Electromagnetismo. Concepto y Aplicaciones”, S.V. Marshall, R.E. Dubroff y G.G. Skitek. Prentice-Hall.(cuarta edición)

• “Introducción a las telecomunicaciones por FIBRAS OPTICAS”, J.P.Nérou. Trillas.

• “Fields and Waves in Communication Electronics”, Ramo S., Whinnery J.R. and Van Duzer T. Wiley. 2nd ed.

• “Campos electromagnéticos”, F. Dios Otin, D. Artigas García, J. Recolons Martos, A. Comerón Tejero, F. Canal Bienzobas. Alfaomega Edicions UPC.

• “Antenas”, A. Cardama Aznar, Ll. Jofre Roca, J. M. Rius Casals, J. Romeu Robert y S. Blanch Boris. 2000 Alfaomega – Edicions UPC

El Ábaco de Smith… que temita largo y con múltiples posibilidades de encararlo, pero esa no es mi idea. En realidad necesitaba la carta de smith para realizar unas adaptaciones de impedancia, busque la imagen en Internet y se me ocurrió publicarla, asi le sirve a otra persona y se evita el trabajo de buscarla en buena calidad por Internet.

Pueden descargar la carta/abaco de Smith haciendo click en la siguiente imagen y luego sobre ella (la imagen) hacen click derecho y eligen Guardar imagen como…

Carta de Smith

También pueden descargarla pdf haciendo Click  ACA