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Vehiculo Personal Electrico

Les presento a RoseWheel, un vehiculo auto-balanceado electrico implementado por cuatro estudiantes de Ingenieria (Brazileños y Franceses) como parte de un concurso en el marco de Telecom ParisTech.

El mismo puede ser controlado remotamente vía BlueTooth usando un teléfono celular con Android.

El vehiculo fue construido a partir del zzaag project y se realizo la adaptación para que puede ser controlado remotamente para el transporte de cargas.

El hardware y software desarrollado se encuentra totalmente liberado y pueden consultarlo en la pagina oficial de RoseWheel.

Arquitectura del Hardware

Arquitectura del Software

Limitaciones:

  • Máxima Carga: 90 kg
  • Máxima Velocidad: 20km/h
  • Punto G: La carga debe estar a una altura comparable a ala se un ser humano.

Ecuación de Onda Electromagnetica Plana en un Medio Conductor

Anteriormente se encontró la ecuación de una onda plana uniforme para el caso particular de un medio dieléctrico perfecto, tal como el espacio libre, en el que no existen cargas ni corrientes de conducción. En las regiones en las que la conductividad no sea cero y puedan existir corrientes de conducción debe obtenerse una solución más general.

Ecuación del Campo Eléctrico

Se puede partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en su forma vectorial diferencial (similar a como se demostró anteriormente), o de cualquiera de sus otras formas. Para demostrar esto, vamos a trabajar con la forma vectorial.

Tenemos la 1ra y 2da ecuación de Maxwell expresadas en forma fasorial:

1 y 2 ecuacions maxwell

Si el medio tiene una conductibilidad σ (mhos/m), la densidad de corriente de conducción J estará dada por la ley de Ohm, su expresión vectorial es:

ley-ohm-vectorial

Reemplazando en (1.1)

rotor-campo-magnetico

Tomando rotacionales en ambos miembros de la 2da ecuación de Maxwell se obtiene:

rotor-doble-campo-electrico

en el segundo miembro podemos reemplazar la 1ra ecuación de Maxwell

rotor-doble-campo-electrico-2

recordando la identidad vectorial que expresa:

identidad-vectorial

combinando estas dos últimas ecuaciones resulta

ecuacion-campo-electrico

En todo medio conductor homogéneo en el que ε es constante, al no existir carga neta dentro del conductor (aunque puede haberla en su superficie), la densidad de carga ρ es cero y por lo tanto

carga-nula-en-medio-conductor

La ecuación (1.4) se convierte así en

ecuacion-1_5

Definimos como constante de propagación (γ) al cuadrado a:

constante-de-propagacion

Si fijamos las condiciones necesarias (vistas previamente) para establecer una onda plana obtenemos

condiciones-onda-plana

Recordando el Laplaciano del campo eléctrico para una onda plana

laplaciano-campo-electrico

Obtenemos la ecuación general de Helmholtz para una Onda Plana onda del campo eléctrico E

onda-plana-ecuacion-helmoholtz

La solución de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:

solucion-general-ecuac-homogenea

En la que C1 y C2 son constantes complejas arbitrarias que surgen de la solución de la ecuación diferencial. Recordando que la constante de propagación γ es igual a la suma de la constante de atenuación α mas la constante de fase β

solucion-general-ecuac-homogenea-2

El primer termino del segundo miembro representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z positivas, la cual se llama Onda Incidente, el segundo término representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z negativas denominada Onda Reflejada. La constante C1 representa la amplitud del campo eléctrico incidente (Ei) y C2 la amplitud del campo eléctrico reflejado (Er).

onda-plana-ecuacion-campo-electrico

Tomando la parte real de la ecuación

campo-electrico-de-una-onda-plana

onda-plana-atenuada

La onda reflejada tiene una apariencia similar excepto por el echo de que se desplaza en el sentido contrario.

Ecuación del Campo Magnético

La ecuación de onda del campo magnético H la obtenemos a partir de la 2da ecuación de Maxwell:

2da-ecuacion-maxwell

como

rotor-campo-electrico

Debido a que Ex es función de z y de t:

rotor-campo-electrico-2Despejando Hy

campo-magnetico-componente-direccion-y

Ahora pasamos a derivar y reemplazar el resultado en la expresión obtenida de la intensidad de campo magnético en la dirección del eje y (onda transversal)

campo-electrico-en-magnetico

Si denominamos Impedancia Intrínseca al término común

ecuacion-impedancia-intrinseca-general

La ecuación de onda del campo magnético se puede expresar:

ecuacion-onda-plana-campo-magnetico

Tomando la parte real de la expresión de H

ecuacion-real-onda-plana-campo-magnetico-parte-real

Recordando las relaciones que vinculaban a las intensidades de los campos con la impedancia intrínseca

impendacia-intrinseca-campo-electrico-magnetico

Reemplazando

ecuacion-onda-electromagnetica-plana-campo-magnetico

Siendo el primer término del segundo miembro la ecuación de la onda incidente del campo magnético y el segundo término del segundo miembro la ecuación de la onda reflejada del campo magnético.

Representacion de una Onda Electromagnética Plana y Uniforme

onda-plana-electromagnetica-medio-conductor

Imagen: http://www.solred.com.ar/lu6etj/tecnicos/handbook/ondas-lineas/ondas-lineas.htm

Condiciones de Frontera – 2da Parte

Continuamos con el análisis de las componentes de una onda electromagnética cuando ésta incide sobre una superficie plana que separa dos medios distintos, lo que se denomina condiciones de frontera

En el articulo anterior se estudio lo que sucede con las componentes tangenciales y ahora nos vamos a enfocar en las componentes normales.

Componentes Normales de la Densidad de Campo Eléctrico

.

Dos medios dieléctricos

En este caso la superficie de frontera se encuentra en X = 0, y separa dos medios dieléctricos distintos (indicados en los subíndices).

El componente normal del campo que estamos empleando es de la D (densidad de campo eléctrico). De acuerdo con las condiciones de medios diferentes y la parte de campo eléctrico empleado, trabajaremos con la tercera ecuación de Maxwell que se encuentra en su forma vectorial integral.

Tenemos en la ecuación una superficie cerrada que está originando en nuestro caso un volumen cilíndrico, por lo que debemos de trabajar en este volumen, en la siguiente figura podemos ver una representación

La superficie de frontera está en el plano YZ, las superficies siempre se consideran como un vector saliente del volumen de que forman parte, cuyo modulo es igual a la superficie. Resolviendo la ecuación de  Maxwell:

para llegar a la superficie de frontera, estando el volumen abarcando los dos medios, tendremos que hacer que ΔX tienda a cero, considerando que la densidad de carga volumétrica, ρ, es finita:

siendo la tercera condición de frontera, para el caso de los dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico, para dos medios dieléctricos es continua“, lo que vale en un medio es lo mismo que vale en el segundo medio.

Un medio conductor

Consideremos ahora que el medio 2 es un conductor perfecto. Seguimos analizando lo que sucede con la componente Dn en la superficie de frontera. Sabemos que dentro de un medio conductor no existe campo eléctrico, E, y tampoco existe Dn (densidad de campo eléctrico), por lo que ya podemos adelantar que la componente no va a ser continua.

Nota: en la imagen hay un error, σ1 es igual a cero no infinito.

Seguimos empleando la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral.

Para llegar a la condición de frontera tenemos que hacer ΔX → 0. Como vimos en el articulo anterior, la densidad de carga volumétrica debido a la fuerza eléctrica originada entre las cargas eléctricas de repulsión e interpretada por la Ley de Coulomb hará que sean expulsadas en un tiempo infinitesimalmente pequeño, llamado tiempo de relajación hasta la superficie del conductor, ya que en ese lugar encuentran a un dieléctrico que tiene un nivel de energía  superior al de la fuerza de la Ley de Coulomb y las detiene.

Al ser el número de cargas un número constante, al tender ΔX a cero el elemento de volumen se transforma en una superficie, en consecuencia:

siendo ρs una densidad de carga superficial, medida en C/m².

Al hacer ΔX → 0, obtenemos:

Siendo la tercera condición de frontera, para el caso de que uno de los medios sea un conductor. Esta condición nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico es discontinua, ya que en el medio conductor aparece una densidad de carga superficial”.

Se puede apreciar lo parecido que es con respecto a la 2da condición de frontera, para el caso en que un medio es un conductor. Ahí aparece en el conductor una densidad de corriente lineal en la superficie Jcs que es precisamente la que origina la densidad de carga superficial ρs, en movimiento sobre la superficie del conductor.

Componente Normal de la Densidad de Campo Magnético

Debido a que el campo magnético función del tiempo, sólo puede existir en medios dieléctricos, la condición que debemos de poner es que los dos medios deber ser dieléctricos.

Al hablar de 2 medios dieléctricos diferentes y en ellos queremos conocer la densidad de campo magnético normal, la ecuación que debemos  emplear es la cuarta ecuación de Maxwell en su forma integral.

La siguiente figura representa los dos medios con la superficie de frontera entre ellos, así como las componentes de B.

El desarrollo de la cuarta ecuación de Maxwell nos queda:

que es la cuarta condición de frontera para dos medios dieléctricos:

La componente normal de la densidad de campo magnético es continua, ya que lo que aparece en un medio es lo mismo a lo que aparece en el otro medio”.

Con esto terminamos toda la bolilla dedicada a las Condiciones de Frontera, como pudieron ver son temas sencillos solo hay que perderle el miedo a als ecuaciones de Maxwell.

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