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Impedancia Intrinseca del Vacio

<– Ecuacion de Onda Electromagnetica – Vacio


Relación Existente entre E y H

En una onda plana uniforme que viaja en la dirección de z, E y H son independientes de x e y, simultáneamente E y H carecen de componente en z. En este caso:

De igual forma

así podemos escribir las primeras dos ecuaciones de Maxwell de la forma:

Igualando los términos en las componentes x e y se obtienen las cuatro relaciones:

Si tenemos en cuenta que  , entonces:

Sustituyendo

si integramos en función de z para encontrar Hx

como  , resulta:

La constante de integración, C, que aparece indica que pudiera estar presente un campo independiente de z. En tanto este campo no forme parte del movimiento de la onda se puede despreciar, y la relación entre el campo Hy y Ex será:

Teniendo en cuenta que E2 = Ex2 + Ey2 e  H2 = Hx2 + Hy2, siendo E y H las intensidades totales de los campos eléctricos y magnéticos, resulta también:

En una onda electromagnética progresiva plana hay una razón definida entre las amplitudes de E y H, y es igual a la raíz cuadrada del cociente entre la permeabilidad y constante dieléctrica del medio. Suele llamarse a esta razón impedancia característica o impedancia intrínseca del medio (no conductor).

Cuando el medio es el espacio libre o vacio, se emplea el subíndice o, y el valor de la impedancia intrínseca del vacio es:


Ecuacion de Onda Electromagnetica – Vacio

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación de onda que nos sirve para caracterizar el movimiento de los campos eléctricos y magnéticos en un medio.

Espacio Libre

Antes de obtener la solución del caso general, es instructivo considerar el caso simple, aunque importante, de los fenómenos electromagnéticos en el espacio libre, o mejor dicho, en un dieléctrico perfecto exento de cargas (ρ=0) y de corrientes de conducción (J=0).

En este caso las ecuaciones vectoriales en forma diferencial de Maxwell se reducen a:

Partimos de la 2da ecuación y sacamos el rotacional en ambos miembros:

Como el rotacional es una diferenciación con respecto al espacio, podemos invertir el orden

Como μ y ε son independientes del tiempo, podemos invertir el orden de la diferenciación en y reemplazar (1.1)

recordando la identidad de Álgebra Vectorial, rotor del rotor de E, es igual al gradiente de la divergencia de E menos el Laplaciano de E

Combinando esta ecuación con la (1.6), obtenemos

Pero al ser el medio exento de cargas, la divergencia es nula  

La ecuación anterior se convierte en:

que es la Ley que debe obedecer el campo eléctrico E.

Si diferenciamos (1.2) y tomamos el rotacional a (1.1), siguiendo un procedimiento análogo encontramos que H obedece a la misma ley, es decir:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) se conocen como Ecuaciones de Helmholtz (ecuaciones de onda electromagnetica), son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden cuya solución son las ecuaciones de onda. La primera condición, tanto para E y H, es que deben satisfacer la ecuación de onda. Notar que aunque E y H obedezcan a la misma ley, E no es igual a H.

Ondas Planas Uniformes Transversales

Si expresamos el Laplaciano del vector campo eléctrico “E” en forma vectorial en función de sus componentes:

El vector campo eléctrico E, de la ecuación anterior equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente escalar de E. Analizando cada componente escalar obtenemos nueve términos con derivadas segundas:

La ecuación (1.8) y por lo tanto la ecuación de onda se reduce en una forma muy simple en el caso especial en que E y H se consideren independientes de dos de las dimensiones: por ej, x e y.

Entonces el campo eléctrico solo será función de la dirección z:

En general, para una propagación plana y uniforme de una onda en dirección z, E puede tener componentes Ex y Ey pero no la Ez. Esto se debe a que la divergencia de E es igual a cero

En una onda plana uniforme en la que E sea independiente de x e y, son nulos los dos primeros términos de esta relación, de manera que se reduce a:

Por tanto, no hay variación de Ez en la dirección de z, esto exige que Ez sea o bien cero, constante en el tiempo o creciente uniformemente. Un campo que satisfaga a cualquiera de estas dos últimas no sería parte de una onda móvil, y por ello Ez puede igualarse a cero.

Si consideramos un medio homogéneo podemos ceñir nuestra atención a una de las componentes sin mengua de la generalidad, por ejemplo la Ex “componente en x”, de los nueve términos iniciales de (1.11) nos quedamos con uno solo

de manera que (1.8) queda de la forma:

Esta ecuación, es un caso particular de la Ecuación de Helmholtz general (1.8) , y se caracteriza por tener un término con derivada segunda con respecto al espacio y otro término con derivada segunda con respecto al tiempo.

La solución general es de la forma

Donde C1 y C2 son constantes de amplitud, vo es velocidad y f1 y f2 son funciones cualquiera (no necesariamente las mismas) que representan dos ondas, una que viaja hacia la derecha (alejándose de su generador) y otra que va hacia la izquierda (de vuelta al generador). Ex se compone de una onda incidente (1) y otra onda reflejada (2)

La expresión f(z-vot) representa la función f de la variable (z-vot), z indica el sentido de propagación y el signo negativo señala que la dirección de propagación es en el sentido positivo del eje.

Demostración de la Solución

Si derivamos (1.15) dos veces seguidas en función de z

Si ahora derivamos la solución general con respecto al tiempo

Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la derivada segunda de la solución general con respecto al tiempo:

Ordenando la expresión tendremos:

Demostrando la igualdad de las ecuaciones (1.16) y (1.17).

Relación entre E y H. Impedancia Intrinseca de un Medio –>

Medio Lineal

Un medio lineal es un medio que simultáneamente cumple las condiciones de ser Homogéneo, Isotrópico, Pasivo y Continuo.

La definición de un medio Homogéneo, es la de aquel que tiene las constantes del campo eléctrico, magnético y de conducción constantes, esto es:

ε = permitividad constante  (faradios/metro)
μ = permeabilidad constante  (henry/metro)
σ = conductividad constante  (mho/metro)

La definición del medio Isotrópico, es la de aquel que la densidad del campo eléctrico es paralela a la intensidad de campo eléctrico, la densidad de campo magnético es paralela a la intensidad de campo magnético y la densidad de corriente de conducción es paralela a la intensidad de campo eléctrico. Esto expresado matemáticamente es: de campo magnético es paralela a la

D || E        B || H      J || E

para que suceda, es necesario que las constantes que representan el campo electromagnético y de conducción sean puramente reales.

Entonces con estas dos condiciones tenemos que:

ε = constante y real
μ = constante y real
σ = constante y real

Si ahora agregamos la condición de que no debe existir ningún generador de onda electromagnética, la onda existe, pero no conocemos la causa que la origina. Esta condición nos indica que el medio es pasivo.iniciar sesion gmail

Un medio continuo es aquel que mantiene la misma impedancia de campo, esto permite trabajar con las ecuaciones de Maxwell en su forma vectorial diferencial.

Condiciones de Frontera – 2da Parte

Continuamos con el análisis de las componentes de una onda electromagnética cuando ésta incide sobre una superficie plana que separa dos medios distintos, lo que se denomina condiciones de frontera

En el articulo anterior se estudio lo que sucede con las componentes tangenciales y ahora nos vamos a enfocar en las componentes normales.

Componentes Normales de la Densidad de Campo Eléctrico

.

Dos medios dieléctricos

En este caso la superficie de frontera se encuentra en X = 0, y separa dos medios dieléctricos distintos (indicados en los subíndices).

El componente normal del campo que estamos empleando es de la D (densidad de campo eléctrico). De acuerdo con las condiciones de medios diferentes y la parte de campo eléctrico empleado, trabajaremos con la tercera ecuación de Maxwell que se encuentra en su forma vectorial integral.

Tenemos en la ecuación una superficie cerrada que está originando en nuestro caso un volumen cilíndrico, por lo que debemos de trabajar en este volumen, en la siguiente figura podemos ver una representación

La superficie de frontera está en el plano YZ, las superficies siempre se consideran como un vector saliente del volumen de que forman parte, cuyo modulo es igual a la superficie. Resolviendo la ecuación de  Maxwell:

para llegar a la superficie de frontera, estando el volumen abarcando los dos medios, tendremos que hacer que ΔX tienda a cero, considerando que la densidad de carga volumétrica, ρ, es finita:

siendo la tercera condición de frontera, para el caso de los dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico, para dos medios dieléctricos es continua“, lo que vale en un medio es lo mismo que vale en el segundo medio.

Un medio conductor

Consideremos ahora que el medio 2 es un conductor perfecto. Seguimos analizando lo que sucede con la componente Dn en la superficie de frontera. Sabemos que dentro de un medio conductor no existe campo eléctrico, E, y tampoco existe Dn (densidad de campo eléctrico), por lo que ya podemos adelantar que la componente no va a ser continua.

Nota: en la imagen hay un error, σ1 es igual a cero no infinito.

Seguimos empleando la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral.

Para llegar a la condición de frontera tenemos que hacer ΔX → 0. Como vimos en el articulo anterior, la densidad de carga volumétrica debido a la fuerza eléctrica originada entre las cargas eléctricas de repulsión e interpretada por la Ley de Coulomb hará que sean expulsadas en un tiempo infinitesimalmente pequeño, llamado tiempo de relajación hasta la superficie del conductor, ya que en ese lugar encuentran a un dieléctrico que tiene un nivel de energía  superior al de la fuerza de la Ley de Coulomb y las detiene.

Al ser el número de cargas un número constante, al tender ΔX a cero el elemento de volumen se transforma en una superficie, en consecuencia:

siendo ρs una densidad de carga superficial, medida en C/m².

Al hacer ΔX → 0, obtenemos:

Siendo la tercera condición de frontera, para el caso de que uno de los medios sea un conductor. Esta condición nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico es discontinua, ya que en el medio conductor aparece una densidad de carga superficial”.

Se puede apreciar lo parecido que es con respecto a la 2da condición de frontera, para el caso en que un medio es un conductor. Ahí aparece en el conductor una densidad de corriente lineal en la superficie Jcs que es precisamente la que origina la densidad de carga superficial ρs, en movimiento sobre la superficie del conductor.

Componente Normal de la Densidad de Campo Magnético

Debido a que el campo magnético función del tiempo, sólo puede existir en medios dieléctricos, la condición que debemos de poner es que los dos medios deber ser dieléctricos.

Al hablar de 2 medios dieléctricos diferentes y en ellos queremos conocer la densidad de campo magnético normal, la ecuación que debemos  emplear es la cuarta ecuación de Maxwell en su forma integral.

La siguiente figura representa los dos medios con la superficie de frontera entre ellos, así como las componentes de B.

El desarrollo de la cuarta ecuación de Maxwell nos queda:

que es la cuarta condición de frontera para dos medios dieléctricos:

La componente normal de la densidad de campo magnético es continua, ya que lo que aparece en un medio es lo mismo a lo que aparece en el otro medio”.

Con esto terminamos toda la bolilla dedicada a las Condiciones de Frontera, como pudieron ver son temas sencillos solo hay que perderle el miedo a als ecuaciones de Maxwell.

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