Ecuación de Onda Electromagnetica Plana en un Medio Conductor

Cálculo de las Ecuaciones del Campo Electrico y Magnetico de una Onda Electromagnetica Plana en un medio conductor. La principal diferencia con una onda que se desplaza en el vacio es que en este caso sufre de atenuación.

Anteriormente se encontró la ecuación de una onda plana uniforme para el caso particular de un medio dieléctrico perfecto, tal como el espacio libre, en el que no existen cargas ni corrientes de conducción. En las regiones en las que la conductividad no sea cero y puedan existir corrientes de conducción debe obtenerse una solución más general.

Ecuación del Campo Eléctrico

Se puede partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en su forma vectorial diferencial (similar a como se demostró anteriormente), o de cualquiera de sus otras formas. Para demostrar esto, vamos a trabajar con la forma vectorial.

Tenemos la 1ra y 2da ecuación de Maxwell expresadas en forma fasorial:

1 y 2 ecuacions maxwell

Si el medio tiene una conductibilidad σ (mhos/m), la densidad de corriente de conducción J estará dada por la ley de Ohm, su expresión vectorial es:

ley-ohm-vectorial

Reemplazando en (1.1)

rotor-campo-magnetico

Tomando rotacionales en ambos miembros de la 2da ecuación de Maxwell se obtiene:

rotor-doble-campo-electrico

en el segundo miembro podemos reemplazar la 1ra ecuación de Maxwell

rotor-doble-campo-electrico-2

recordando la identidad vectorial que expresa:

identidad-vectorial

combinando estas dos últimas ecuaciones resulta

ecuacion-campo-electrico

En todo medio conductor homogéneo en el que ε es constante, al no existir carga neta dentro del conductor (aunque puede haberla en su superficie), la densidad de carga ρ es cero y por lo tanto

carga-nula-en-medio-conductor

La ecuación (1.4) se convierte así en

ecuacion-1_5

Definimos como constante de propagación (γ) al cuadrado a:

constante-de-propagacion

Si fijamos las condiciones necesarias (vistas previamente) para establecer una onda plana obtenemos

condiciones-onda-plana

Recordando el Laplaciano del campo eléctrico para una onda plana

laplaciano-campo-electrico

Obtenemos la ecuación general de Helmholtz para una Onda Plana onda del campo eléctrico E

onda-plana-ecuacion-helmoholtz

La solución de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:

solucion-general-ecuac-homogenea

En la que C1 y C2 son constantes complejas arbitrarias que surgen de la solución de la ecuación diferencial. Recordando que la constante de propagación γ es igual a la suma de la constante de atenuación α mas la constante de fase β

solucion-general-ecuac-homogenea-2

El primer termino del segundo miembro representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z positivas, la cual se llama Onda Incidente, el segundo término representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z negativas denominada Onda Reflejada. La constante C1 representa la amplitud del campo eléctrico incidente (Ei) y C2 la amplitud del campo eléctrico reflejado (Er).

onda-plana-ecuacion-campo-electrico

Tomando la parte real de la ecuación

campo-electrico-de-una-onda-plana

onda-plana-atenuada

La onda reflejada tiene una apariencia similar excepto por el echo de que se desplaza en el sentido contrario.

Ecuación del Campo Magnético

La ecuación de onda del campo magnético H la obtenemos a partir de la 2da ecuación de Maxwell:

2da-ecuacion-maxwell

como

rotor-campo-electrico

Debido a que Ex es función de z y de t:

rotor-campo-electrico-2Despejando Hy

campo-magnetico-componente-direccion-y

Ahora pasamos a derivar y reemplazar el resultado en la expresión obtenida de la intensidad de campo magnético en la dirección del eje y (onda transversal)

campo-electrico-en-magnetico

Si denominamos Impedancia Intrínseca al término común

ecuacion-impedancia-intrinseca-general

La ecuación de onda del campo magnético se puede expresar:

ecuacion-onda-plana-campo-magnetico

Tomando la parte real de la expresión de H

ecuacion-real-onda-plana-campo-magnetico-parte-real

Recordando las relaciones que vinculaban a las intensidades de los campos con la impedancia intrínseca

impendacia-intrinseca-campo-electrico-magnetico

Reemplazando

ecuacion-onda-electromagnetica-plana-campo-magnetico

Siendo el primer término del segundo miembro la ecuación de la onda incidente del campo magnético y el segundo término del segundo miembro la ecuación de la onda reflejada del campo magnético.

Representacion de una Onda Electromagnética Plana y Uniforme

onda-plana-electromagnetica-medio-conductor
Imagen: http://www.solred.com.ar/lu6etj/tecnicos/handbook/ondas-lineas/ondas-lineas.htm

Ecuacion de Onda Electromagnetica – Vacio

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación de onda que nos sirve para caracterizar el movimiento de los campos eléctricos y magnéticos en un medio.

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación de onda que nos sirve para caracterizar el movimiento de los campos eléctricos y magnéticos en un medio.

Espacio Libre

Antes de obtener la solución del caso general, es instructivo considerar el caso simple, aunque importante, de los fenómenos electromagnéticos en el espacio libre, o mejor dicho, en un dieléctrico perfecto exento de cargas (ρ=0) y de corrientes de conducción (J=0).

En este caso las ecuaciones vectoriales en forma diferencial de Maxwell se reducen a:

Partimos de la 2da ecuación y sacamos el rotacional en ambos miembros:

Como el rotacional es una diferenciación con respecto al espacio, podemos invertir el orden

Como μ y ε son independientes del tiempo, podemos invertir el orden de la diferenciación en y reemplazar (1.1)

recordando la identidad de Álgebra Vectorial, rotor del rotor de E, es igual al gradiente de la divergencia de E menos el Laplaciano de E

Combinando esta ecuación con la (1.6), obtenemos

Pero al ser el medio exento de cargas, la divergencia es nula  

La ecuación anterior se convierte en:

que es la Ley que debe obedecer el campo eléctrico E.

Si diferenciamos (1.2) y tomamos el rotacional a (1.1), siguiendo un procedimiento análogo encontramos que H obedece a la misma ley, es decir:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) se conocen como Ecuaciones de Helmholtz (ecuaciones de onda electromagnetica), son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden cuya solución son las ecuaciones de onda. La primera condición, tanto para E y H, es que deben satisfacer la ecuación de onda. Notar que aunque E y H obedezcan a la misma ley, E no es igual a H.

Ondas Planas Uniformes Transversales

Si expresamos el Laplaciano del vector campo eléctrico “E” en forma vectorial en función de sus componentes:

El vector campo eléctrico E, de la ecuación anterior equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente escalar de E. Analizando cada componente escalar obtenemos nueve términos con derivadas segundas:

La ecuación (1.8) y por lo tanto la ecuación de onda se reduce en una forma muy simple en el caso especial en que E y H se consideren independientes de dos de las dimensiones: por ej, x e y.

Entonces el campo eléctrico solo será función de la dirección z:

En general, para una propagación plana y uniforme de una onda en dirección z, E puede tener componentes Ex y Ey pero no la Ez. Esto se debe a que la divergencia de E es igual a cero

En una onda plana uniforme en la que E sea independiente de x e y, son nulos los dos primeros términos de esta relación, de manera que se reduce a:

Por tanto, no hay variación de Ez en la dirección de z, esto exige que Ez sea o bien cero, constante en el tiempo o creciente uniformemente. Un campo que satisfaga a cualquiera de estas dos últimas no sería parte de una onda móvil, y por ello Ez puede igualarse a cero.

Si consideramos un medio homogéneo podemos ceñir nuestra atención a una de las componentes sin mengua de la generalidad, por ejemplo la Ex “componente en x”, de los nueve términos iniciales de (1.11) nos quedamos con uno solo

de manera que (1.8) queda de la forma:

Esta ecuación, es un caso particular de la Ecuación de Helmholtz general (1.8) , y se caracteriza por tener un término con derivada segunda con respecto al espacio y otro término con derivada segunda con respecto al tiempo.

La solución general es de la forma

Donde C1 y C2 son constantes de amplitud, vo es velocidad y f1 y f2 son funciones cualquiera (no necesariamente las mismas) que representan dos ondas, una que viaja hacia la derecha (alejándose de su generador) y otra que va hacia la izquierda (de vuelta al generador). Ex se compone de una onda incidente (1) y otra onda reflejada (2)

La expresión f(z-vot) representa la función f de la variable (z-vot), z indica el sentido de propagación y el signo negativo señala que la dirección de propagación es en el sentido positivo del eje.

Demostración de la Solución

Si derivamos (1.15) dos veces seguidas en función de z

Si ahora derivamos la solución general con respecto al tiempo

Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la derivada segunda de la solución general con respecto al tiempo:

Ordenando la expresión tendremos:

Demostrando la igualdad de las ecuaciones (1.16) y (1.17).

Relación entre E y H. Impedancia Intrinseca de un Medio –>