Anteriormente se encontró la ecuación de una onda plana uniforme para el caso particular de un medio dieléctrico perfecto, tal como el espacio libre, en el que no existen cargas ni corrientes de conducción. En las regiones en las que la conductividad no sea cero y puedan existir corrientes de conducción debe obtenerse una solución más general.
Ecuación del Campo Eléctrico
Se puede partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en su forma vectorial diferencial (similar a como se demostró anteriormente), o de cualquiera de sus otras formas. Para demostrar esto, vamos a trabajar con la forma vectorial.
Tenemos la 1ra y 2da ecuación de Maxwell expresadas en forma fasorial:
Si el medio tiene una conductibilidad σ (mhos/m), la densidad de corriente de conducción J estará dada por la ley de Ohm, su expresión vectorial es:
Reemplazando en (1.1)
Tomando rotacionales en ambos miembros de la 2da ecuación de Maxwell se obtiene:
en el segundo miembro podemos reemplazar la 1ra ecuación de Maxwell
recordando la identidad vectorial que expresa:
combinando estas dos últimas ecuaciones resulta
En todo medio conductor homogéneo en el que ε es constante, al no existir carga neta dentro del conductor (aunque puede haberla en su superficie), la densidad de carga ρ es cero y por lo tanto
La ecuación (1.4) se convierte así en
Definimos como constante de propagación (γ) al cuadrado a:
Si fijamos las condiciones necesarias (vistas previamente) para establecer una onda plana obtenemos
Recordando el Laplaciano del campo eléctrico para una onda plana
Obtenemos la ecuación general de Helmholtz para una Onda Plana onda del campo eléctrico E
La solución de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:
En la que C1 y C2 son constantes complejas arbitrarias que surgen de la solución de la ecuación diferencial. Recordando que la constante de propagación γ es igual a la suma de la constante de atenuación α mas la constante de fase β
El primer termino del segundo miembro representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z positivas, la cual se llama Onda Incidente, el segundo término representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z negativas denominada Onda Reflejada. La constante C1 representa la amplitud del campo eléctrico incidente (Ei) y C2 la amplitud del campo eléctrico reflejado (Er).
Tomando la parte real de la ecuación
La onda reflejada tiene una apariencia similar excepto por el echo de que se desplaza en el sentido contrario.
Ecuación del Campo Magnético
La ecuación de onda del campo magnético H la obtenemos a partir de la 2da ecuación de Maxwell:
como
Debido a que Ex es función de z y de t:
Despejando Hy
Ahora pasamos a derivar y reemplazar el resultado en la expresión obtenida de la intensidad de campo magnético en la dirección del eje y (onda transversal)
Si denominamos Impedancia Intrínseca al término común
La ecuación de onda del campo magnético se puede expresar:
Tomando la parte real de la expresión de H
Recordando las relaciones que vinculaban a las intensidades de los campos con la impedancia intrínseca
Reemplazando
Siendo el primer término del segundo miembro la ecuación de la onda incidente del campo magnético y el segundo término del segundo miembro la ecuación de la onda reflejada del campo magnético.
Representacion de una Onda Electromagnética Plana y Uniforme
Nota: en la imagen hay un error, σ1 es igual a cero no infinito.
El desarrollo de la cuarta ecuación de Maxwell nos queda: