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Impedancia Intrinseca Compleja

Mientras realizamos el análisis de la Ecuación de Onda Electromagnetica Plana en un Medio Conductor encontramos la ecuación general que expresa la Impedancia Intrinseca de un Medio.

impedancia intrinseca compleja

Calculo de la Impedancia Intrínseca Compleja

Podemos ver que es inversamente proporcional a la constante de propagación γ.

constante propagacion onda electromagnetica Reemplazando

impedancia intrinseca compleja

Si sacamos factor común jwε

impedancia intrinseca compleja

Podemos expresar de forma polar el valor complejo de la impedancia intrínseca. Trabajando con el denominador:

impedancia intrinseca compleja

Si consideramos la raiz cuadrada

impedancia intrinseca compleja

La forma polar de la impedancia intrínseca nos queda igual a:

impedancia intrinseca compleja forma polar

Si nos fijamos la expresión en el numerador, podemos notar que es igual a la impedancia intrínseca del vació, esto se puede corroborar si reemplazamos el valor del Factor de Disipación σ/ωε = 1 para el vacío.


Ecuación de Onda Electromagnetica Plana en un Medio Conductor

Anteriormente se encontró la ecuación de una onda plana uniforme para el caso particular de un medio dieléctrico perfecto, tal como el espacio libre, en el que no existen cargas ni corrientes de conducción. En las regiones en las que la conductividad no sea cero y puedan existir corrientes de conducción debe obtenerse una solución más general.

Ecuación del Campo Eléctrico

Se puede partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en su forma vectorial diferencial (similar a como se demostró anteriormente), o de cualquiera de sus otras formas. Para demostrar esto, vamos a trabajar con la forma vectorial.

Tenemos la 1ra y 2da ecuación de Maxwell expresadas en forma fasorial:

1 y 2 ecuacions maxwell

Si el medio tiene una conductibilidad σ (mhos/m), la densidad de corriente de conducción J estará dada por la ley de Ohm, su expresión vectorial es:

ley-ohm-vectorial

Reemplazando en (1.1)

rotor-campo-magnetico

Tomando rotacionales en ambos miembros de la 2da ecuación de Maxwell se obtiene:

rotor-doble-campo-electrico

en el segundo miembro podemos reemplazar la 1ra ecuación de Maxwell

rotor-doble-campo-electrico-2

recordando la identidad vectorial que expresa:

identidad-vectorial

combinando estas dos últimas ecuaciones resulta

ecuacion-campo-electrico

En todo medio conductor homogéneo en el que ε es constante, al no existir carga neta dentro del conductor (aunque puede haberla en su superficie), la densidad de carga ρ es cero y por lo tanto

carga-nula-en-medio-conductor

La ecuación (1.4) se convierte así en

ecuacion-1_5

Definimos como constante de propagación (γ) al cuadrado a:

constante-de-propagacion

Si fijamos las condiciones necesarias (vistas previamente) para establecer una onda plana obtenemos

condiciones-onda-plana

Recordando el Laplaciano del campo eléctrico para una onda plana

laplaciano-campo-electrico

Obtenemos la ecuación general de Helmholtz para una Onda Plana onda del campo eléctrico E

onda-plana-ecuacion-helmoholtz

La solución de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:

solucion-general-ecuac-homogenea

En la que C1 y C2 son constantes complejas arbitrarias que surgen de la solución de la ecuación diferencial. Recordando que la constante de propagación γ es igual a la suma de la constante de atenuación α mas la constante de fase β

solucion-general-ecuac-homogenea-2

El primer termino del segundo miembro representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z positivas, la cual se llama Onda Incidente, el segundo término representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z negativas denominada Onda Reflejada. La constante C1 representa la amplitud del campo eléctrico incidente (Ei) y C2 la amplitud del campo eléctrico reflejado (Er).

onda-plana-ecuacion-campo-electrico

Tomando la parte real de la ecuación

campo-electrico-de-una-onda-plana

onda-plana-atenuada

La onda reflejada tiene una apariencia similar excepto por el echo de que se desplaza en el sentido contrario.

Ecuación del Campo Magnético

La ecuación de onda del campo magnético H la obtenemos a partir de la 2da ecuación de Maxwell:

2da-ecuacion-maxwell

como

rotor-campo-electrico

Debido a que Ex es función de z y de t:

rotor-campo-electrico-2Despejando Hy

campo-magnetico-componente-direccion-y

Ahora pasamos a derivar y reemplazar el resultado en la expresión obtenida de la intensidad de campo magnético en la dirección del eje y (onda transversal)

campo-electrico-en-magnetico

Si denominamos Impedancia Intrínseca al término común

ecuacion-impedancia-intrinseca-general

La ecuación de onda del campo magnético se puede expresar:

ecuacion-onda-plana-campo-magnetico

Tomando la parte real de la expresión de H

ecuacion-real-onda-plana-campo-magnetico-parte-real

Recordando las relaciones que vinculaban a las intensidades de los campos con la impedancia intrínseca

impendacia-intrinseca-campo-electrico-magnetico

Reemplazando

ecuacion-onda-electromagnetica-plana-campo-magnetico

Siendo el primer término del segundo miembro la ecuación de la onda incidente del campo magnético y el segundo término del segundo miembro la ecuación de la onda reflejada del campo magnético.

Representacion de una Onda Electromagnética Plana y Uniforme

onda-plana-electromagnetica-medio-conductor

Imagen: http://www.solred.com.ar/lu6etj/tecnicos/handbook/ondas-lineas/ondas-lineas.htm

Impedancia Intrinseca del Vacio

<– Ecuacion de Onda Electromagnetica – Vacio


Relación Existente entre E y H

En una onda plana uniforme que viaja en la dirección de z, E y H son independientes de x e y, simultáneamente E y H carecen de componente en z. En este caso:

De igual forma

así podemos escribir las primeras dos ecuaciones de Maxwell de la forma:

Igualando los términos en las componentes x e y se obtienen las cuatro relaciones:

Si tenemos en cuenta que  , entonces:

Sustituyendo

si integramos en función de z para encontrar Hx

como  , resulta:

La constante de integración, C, que aparece indica que pudiera estar presente un campo independiente de z. En tanto este campo no forme parte del movimiento de la onda se puede despreciar, y la relación entre el campo Hy y Ex será:

Teniendo en cuenta que E2 = Ex2 + Ey2 e  H2 = Hx2 + Hy2, siendo E y H las intensidades totales de los campos eléctricos y magnéticos, resulta también:

En una onda electromagnética progresiva plana hay una razón definida entre las amplitudes de E y H, y es igual a la raíz cuadrada del cociente entre la permeabilidad y constante dieléctrica del medio. Suele llamarse a esta razón impedancia característica o impedancia intrínseca del medio (no conductor).

Cuando el medio es el espacio libre o vacio, se emplea el subíndice o, y el valor de la impedancia intrínseca del vacio es:


Ecuacion de Onda Electromagnetica – Vacio

La ecuación de onda electromagnética es una ecuación de onda que nos sirve para caracterizar el movimiento de los campos eléctricos y magnéticos en un medio.

Espacio Libre

Antes de obtener la solución del caso general, es instructivo considerar el caso simple, aunque importante, de los fenómenos electromagnéticos en el espacio libre, o mejor dicho, en un dieléctrico perfecto exento de cargas (ρ=0) y de corrientes de conducción (J=0).

En este caso las ecuaciones vectoriales en forma diferencial de Maxwell se reducen a:

Partimos de la 2da ecuación y sacamos el rotacional en ambos miembros:

Como el rotacional es una diferenciación con respecto al espacio, podemos invertir el orden

Como μ y ε son independientes del tiempo, podemos invertir el orden de la diferenciación en y reemplazar (1.1)

recordando la identidad de Álgebra Vectorial, rotor del rotor de E, es igual al gradiente de la divergencia de E menos el Laplaciano de E

Combinando esta ecuación con la (1.6), obtenemos

Pero al ser el medio exento de cargas, la divergencia es nula  

La ecuación anterior se convierte en:

que es la Ley que debe obedecer el campo eléctrico E.

Si diferenciamos (1.2) y tomamos el rotacional a (1.1), siguiendo un procedimiento análogo encontramos que H obedece a la misma ley, es decir:

Las ecuaciones (1.8) y (1.9) se conocen como Ecuaciones de Helmholtz (ecuaciones de onda electromagnetica), son ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden cuya solución son las ecuaciones de onda. La primera condición, tanto para E y H, es que deben satisfacer la ecuación de onda. Notar que aunque E y H obedezcan a la misma ley, E no es igual a H.

Ondas Planas Uniformes Transversales

Si expresamos el Laplaciano del vector campo eléctrico “E” en forma vectorial en función de sus componentes:

El vector campo eléctrico E, de la ecuación anterior equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente escalar de E. Analizando cada componente escalar obtenemos nueve términos con derivadas segundas:

La ecuación (1.8) y por lo tanto la ecuación de onda se reduce en una forma muy simple en el caso especial en que E y H se consideren independientes de dos de las dimensiones: por ej, x e y.

Entonces el campo eléctrico solo será función de la dirección z:

En general, para una propagación plana y uniforme de una onda en dirección z, E puede tener componentes Ex y Ey pero no la Ez. Esto se debe a que la divergencia de E es igual a cero

En una onda plana uniforme en la que E sea independiente de x e y, son nulos los dos primeros términos de esta relación, de manera que se reduce a:

Por tanto, no hay variación de Ez en la dirección de z, esto exige que Ez sea o bien cero, constante en el tiempo o creciente uniformemente. Un campo que satisfaga a cualquiera de estas dos últimas no sería parte de una onda móvil, y por ello Ez puede igualarse a cero.

Si consideramos un medio homogéneo podemos ceñir nuestra atención a una de las componentes sin mengua de la generalidad, por ejemplo la Ex “componente en x”, de los nueve términos iniciales de (1.11) nos quedamos con uno solo

de manera que (1.8) queda de la forma:

Esta ecuación, es un caso particular de la Ecuación de Helmholtz general (1.8) , y se caracteriza por tener un término con derivada segunda con respecto al espacio y otro término con derivada segunda con respecto al tiempo.

La solución general es de la forma

Donde C1 y C2 son constantes de amplitud, vo es velocidad y f1 y f2 son funciones cualquiera (no necesariamente las mismas) que representan dos ondas, una que viaja hacia la derecha (alejándose de su generador) y otra que va hacia la izquierda (de vuelta al generador). Ex se compone de una onda incidente (1) y otra onda reflejada (2)

La expresión f(z-vot) representa la función f de la variable (z-vot), z indica el sentido de propagación y el signo negativo señala que la dirección de propagación es en el sentido positivo del eje.

Demostración de la Solución

Si derivamos (1.15) dos veces seguidas en función de z

Si ahora derivamos la solución general con respecto al tiempo

Derivando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos la derivada segunda de la solución general con respecto al tiempo:

Ordenando la expresión tendremos:

Demostrando la igualdad de las ecuaciones (1.16) y (1.17).

Relación entre E y H. Impedancia Intrinseca de un Medio –>

Condiciones de Frontera – 1 Parte

Cuando hablamos de condiciones de frontera en Medios de Enlace nos referimos a el comportamiento que tiene las componentes tangenciales y normales de las intensidades de campo Eléctrico y Magnético en la superficie de frontera.

Se define como Superficie de Frontera SF al plano en donde se unen dos medios con distintas características.

Componente Tangencial de E

Vamos a considerar una superficie gaussiana rectangular de Δx de ancho y Δy de alto, la cual se encuentra centrada en la SF que separa a dos medios dieléctricos perfectos quedando definido cada uno por la terna ε, μ y σ, al ser los dos medios dieléctricos, la constante de conductividad σ será igual a cero.

La intensidad de campo eléctrico tendrá dos componentes de acuerdo al plano XY, llamándoles tangente a la superficie de frontera Ey y normal a la superficial de frontera Ex.

La discontinuidad se los medios se encuentra en x = 0

Al no trabajar con un medio continuo debemos emplear las ecuaciones de Maxwell en forma integral. Al estar hablando de E, la ecuación correspondiente será la segunda, o sea:

Si resolvemos las integrales

igualando los miembros y haciendo que el ancho del rectángulo tienda a cero (Δx → 0), pero aún conservando en su centro la discontinuidad de los medios. El valor de las componentes de la intensidad de campo eléctrico es finito, por lo que al estar multiplicados por Δx (infinitesimalmente pequeño) serán iguales a cero, por lo que tendremos

que es precisamente la primera condición de frontera, que nos dice

El componente tangencial de la intensidad de campo eléctrico en dos medios dieléctricos es continua“, lo que hay en un medio es igual a lo que hay en el otro medio.

Componente Tangencial de H

Al igual que en el caso anterior, tenemos dos medios dielectricos.

Lo único que varia es que en lugar de trabajar con la intensidad del campo eléctrico (E) ahora trabajamos con la intensidad del campo magnético (H) por lo que debemos emplear la primera ecuación de Maxwell.

Las componentes de la intensidad de campo magnético son cantidades finitas, al igual que la densidad de corriente y la densidad de campo eléctrico. Si aplicamos la fórmula de la 1ra ecuación a nuestra trayectoria cerrada, igualamos y hacemos tender a cero a Δ, tendremos

siendo la segunda condición de frontera, para el caso particular de dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

“El componente tangencial de la intensidad de campo eléctrico en dos medios dieléctricos es continualo que vale en un dieléctrico, es lo mismo a lo que valdrá en el dieléctrico contiguo.

Medio Conductor

Consideramos el caso en el cual el medio 2 ahora es un conductor perfecto.

Es necesario recordar que en un medio conductor perfecto, la E = f (t) dentro del medio es igual a cero,  y por lo tanto la B = f (t) también será igual a cero; esto es, el componente tangencial By será discontinuo, pues dentro del medio conductor perfecto no hay B.

Analicemos lo que sucede con los electrones que forman la corriente de conducción en el  medio conductor. La corriente está originada por cargas eléctrica en movimiento y el movimiento será función de la frecuencia, matematicamente:

además la Ley de Columb nos indica que cargas de igual signo se repelen mutuamente.

Los electrones se encuentran sometidos a 2 fuerzas, una debido a la que origina la densidad de corriente Jc y la otra debido a la repulsión, por lo que la fuerza resultante es R.

La corriente eléctrica es función de la frecuencia I = f (t) y f (t)  = eˆjwt, si representamos la parte real de la corriente

podemos apreciar que se hace cero 2 veces en un periodo. Las ondas electromagnéticas son de frecuencias muy elevadas, si tomamos un tiempo fijo, a mayor frecuencia mayor sera la cantidad de veces que la densidad de corriente se hace cero, en esos instantes de tiempo sobre los electrones solo queda la acción de la Fc (fuerza de repulsión de Coulomb) y como el medio es un conductor perfecto, no hay ninguna oposición a que las cargas eléctricas se muevan y por lo tanto se separaran (b).

Esto originará que en un tiempo muy corto, alrededor de 10^-19 seg, llamado tiempo de relajación todos los electrones sean repelidos hacia la superficie del conductor lugar que no pueden abandonar al verse rodeados por un dieléctrico el cual posee mayor energía potencial (c).

Como resultado de esto la densidad de corriente de conducción Jc se transforma en una densidad de corriente lineal en la superficie del medio conductor, Jcs, la cual se mide en A.1/m, siendo los 1/m en la superficie del conductor, no la profundidad.

matemáticamente

empleando la primera ecuación de Maxwell encontramos

Si la E dentro del medio conductor es cero, la intensidad de campo magnético en el medio conductor también debe ser cero. Hy2 = 0. El último resultado está expresado en función de fasores, siendo n normal a la superficie de frontera en la dirección al medio conductor, que en nuestro caso es en la dirección positiva del eje de las X.

resumiendo, la segunda condición de frontera, para el caso en el que uno de los medios sea un conductor perfecto indica:

El componente tangencial de la H, es discontinua, pues en el medio conductor aparece una densidad de corriente superficial

Este caso es muy importante en la practica, ya que nos permite comprender la existencia de las antenas, tanto receptoras como transmisoras.

En las antenas receptoras, la componente de la intensidad de campo mágnetico H de la onda electromagnética que está viajando en un dieléctrico (aire), incide en la antena la cual es un medio conductor, a la cual rodea, debido a que el campo magnético es una trayectoria cerrada siendo en consecuencia tangente al medio conductor, originando a lo largo de la antena una densidad de corriente superficial Jcs.

Esta densidad de corriente posee la misma información (modulación) que la onda electromagnética y al circular por el receptor origina una señal (diferencia de potencial) que es amplificada al nivel necesario para poder usarla, ser oída, vista, etc.


En una antena transmisora, una corriente de alta frecuencia  es enviada por el transmisor al elemento radiador. La densidad de corriente Jc se transforma en el medio conductor debido a la alta frecuencia y a la alta conductividad en una densidad de corriente lineal en la superficie, tangente al aire (medio dieléctrico), originando en este una intensidad de campo magnético H tangencial, que a su vez originará una intensidad de campo eléctrico E, y la E otra H y asi sucesivamente formándose y propagándose la onda por el aire.

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