Ecuación de Onda Electromagnetica Plana en un Medio Conductor


Anteriormente se encontró la ecuación de una onda plana uniforme para el caso particular de un medio dieléctrico perfecto, tal como el espacio libre, en el que no existen cargas ni corrientes de conducción. En las regiones en las que la conductividad no sea cero y puedan existir corrientes de conducción debe obtenerse una solución más general.

Ecuación del Campo Eléctrico

Se puede partir de las ecuaciones de Maxwell expresadas en su forma vectorial diferencial (similar a como se demostró anteriormente), o de cualquiera de sus otras formas. Para demostrar esto, vamos a trabajar con la forma vectorial.

Tenemos la 1ra y 2da ecuación de Maxwell expresadas en forma fasorial:

1 y 2 ecuacions maxwell

Si el medio tiene una conductibilidad σ (mhos/m), la densidad de corriente de conducción J estará dada por la ley de Ohm, su expresión vectorial es:

ley-ohm-vectorial

Reemplazando en (1.1)

rotor-campo-magnetico

Tomando rotacionales en ambos miembros de la 2da ecuación de Maxwell se obtiene:

rotor-doble-campo-electrico

en el segundo miembro podemos reemplazar la 1ra ecuación de Maxwell

rotor-doble-campo-electrico-2

recordando la identidad vectorial que expresa:

identidad-vectorial

combinando estas dos últimas ecuaciones resulta

ecuacion-campo-electrico

En todo medio conductor homogéneo en el que ε es constante, al no existir carga neta dentro del conductor (aunque puede haberla en su superficie), la densidad de carga ρ es cero y por lo tanto

carga-nula-en-medio-conductor

La ecuación (1.4) se convierte así en

ecuacion-1_5

Definimos como constante de propagación (γ) al cuadrado a:

constante-de-propagacion

Si fijamos las condiciones necesarias (vistas previamente) para establecer una onda plana obtenemos

condiciones-onda-plana

Recordando el Laplaciano del campo eléctrico para una onda plana

laplaciano-campo-electrico

Obtenemos la ecuación general de Helmholtz para una Onda Plana onda del campo eléctrico E

onda-plana-ecuacion-helmoholtz

La solución de esta ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:

solucion-general-ecuac-homogenea

En la que C1 y C2 son constantes complejas arbitrarias que surgen de la solución de la ecuación diferencial. Recordando que la constante de propagación γ es igual a la suma de la constante de atenuación α mas la constante de fase β

solucion-general-ecuac-homogenea-2

El primer termino del segundo miembro representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z positivas, la cual se llama Onda Incidente, el segundo término representa una onda que se desplaza en la dirección de las Z negativas denominada Onda Reflejada. La constante C1 representa la amplitud del campo eléctrico incidente (Ei) y C2 la amplitud del campo eléctrico reflejado (Er).

onda-plana-ecuacion-campo-electrico

Tomando la parte real de la ecuación

campo-electrico-de-una-onda-plana

onda-plana-atenuada

La onda reflejada tiene una apariencia similar excepto por el echo de que se desplaza en el sentido contrario.

Ecuación del Campo Magnético

La ecuación de onda del campo magnético H la obtenemos a partir de la 2da ecuación de Maxwell:

2da-ecuacion-maxwell

como

rotor-campo-electrico

Debido a que Ex es función de z y de t:

rotor-campo-electrico-2Despejando Hy

campo-magnetico-componente-direccion-y

Ahora pasamos a derivar y reemplazar el resultado en la expresión obtenida de la intensidad de campo magnético en la dirección del eje y (onda transversal)

campo-electrico-en-magnetico

Si denominamos Impedancia Intrínseca al término común

ecuacion-impedancia-intrinseca-general

La ecuación de onda del campo magnético se puede expresar:

ecuacion-onda-plana-campo-magnetico

Tomando la parte real de la expresión de H

ecuacion-real-onda-plana-campo-magnetico-parte-real

Recordando las relaciones que vinculaban a las intensidades de los campos con la impedancia intrínseca

impendacia-intrinseca-campo-electrico-magnetico

Reemplazando

ecuacion-onda-electromagnetica-plana-campo-magnetico

Siendo el primer término del segundo miembro la ecuación de la onda incidente del campo magnético y el segundo término del segundo miembro la ecuación de la onda reflejada del campo magnético.

Representacion de una Onda Electromagnética Plana y Uniforme

onda-plana-electromagnetica-medio-conductor

Imagen: http://www.solred.com.ar/lu6etj/tecnicos/handbook/ondas-lineas/ondas-lineas.htm

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campo, constante, ecuacion, electrico, electromagnetica, Helmholtz, impendacia, intrinseca, magnetico, OEM, onda, plana, propagacion
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2 Comentarios
Sep 27, 2010
4:39 pm
#1 jOsUeNaTa :

algun dia voy a dominar esas ecuaciones, formulas jejej pero mientras tanto WOw.

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