Condiciones de Frontera – 2da Parte

Segunda y última parte del análisis de las denominadas condiciones de frontera que deben cumplir las componentes de una EMW al incidir sobre una superficie que separa dos medios distintos.

Continuamos con el análisis de las componentes de una onda electromagnética cuando ésta incide sobre una superficie plana que separa dos medios distintos, lo que se denomina condiciones de frontera

En el articulo anterior se estudio lo que sucede con las componentes tangenciales y ahora nos vamos a enfocar en las componentes normales.

Componentes Normales de la Densidad de Campo Eléctrico

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Dos medios dieléctricos

En este caso la superficie de frontera se encuentra en X = 0, y separa dos medios dieléctricos distintos (indicados en los subíndices).

El componente normal del campo que estamos empleando es de la D (densidad de campo eléctrico). De acuerdo con las condiciones de medios diferentes y la parte de campo eléctrico empleado, trabajaremos con la tercera ecuación de Maxwell que se encuentra en su forma vectorial integral.

Tenemos en la ecuación una superficie cerrada que está originando en nuestro caso un volumen cilíndrico, por lo que debemos de trabajar en este volumen, en la siguiente figura podemos ver una representación

La superficie de frontera está en el plano YZ, las superficies siempre se consideran como un vector saliente del volumen de que forman parte, cuyo modulo es igual a la superficie. Resolviendo la ecuación de  Maxwell:

para llegar a la superficie de frontera, estando el volumen abarcando los dos medios, tendremos que hacer que ΔX tienda a cero, considerando que la densidad de carga volumétrica, ρ, es finita:

siendo la tercera condición de frontera, para el caso de los dos medios dieléctricos, la cual nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico, para dos medios dieléctricos es continua“, lo que vale en un medio es lo mismo que vale en el segundo medio.

Un medio conductor

Consideremos ahora que el medio 2 es un conductor perfecto. Seguimos analizando lo que sucede con la componente Dn en la superficie de frontera. Sabemos que dentro de un medio conductor no existe campo eléctrico, E, y tampoco existe Dn (densidad de campo eléctrico), por lo que ya podemos adelantar que la componente no va a ser continua.

Nota: en la imagen hay un error, σ1 es igual a cero no infinito.

Seguimos empleando la tercera ecuación de Maxwell en su forma integral.

Para llegar a la condición de frontera tenemos que hacer ΔX → 0. Como vimos en el articulo anterior, la densidad de carga volumétrica debido a la fuerza eléctrica originada entre las cargas eléctricas de repulsión e interpretada por la Ley de Coulomb hará que sean expulsadas en un tiempo infinitesimalmente pequeño, llamado tiempo de relajación hasta la superficie del conductor, ya que en ese lugar encuentran a un dieléctrico que tiene un nivel de energía  superior al de la fuerza de la Ley de Coulomb y las detiene.

Al ser el número de cargas un número constante, al tender ΔX a cero el elemento de volumen se transforma en una superficie, en consecuencia:

siendo ρs una densidad de carga superficial, medida en C/m².

Al hacer ΔX → 0, obtenemos:

Siendo la tercera condición de frontera, para el caso de que uno de los medios sea un conductor. Esta condición nos dice:

La componente normal de la densidad de campo eléctrico es discontinua, ya que en el medio conductor aparece una densidad de carga superficial”.

Se puede apreciar lo parecido que es con respecto a la 2da condición de frontera, para el caso en que un medio es un conductor. Ahí aparece en el conductor una densidad de corriente lineal en la superficie Jcs que es precisamente la que origina la densidad de carga superficial ρs, en movimiento sobre la superficie del conductor.

Componente Normal de la Densidad de Campo Magnético

Debido a que el campo magnético función del tiempo, sólo puede existir en medios dieléctricos, la condición que debemos de poner es que los dos medios deber ser dieléctricos.

Al hablar de 2 medios dieléctricos diferentes y en ellos queremos conocer la densidad de campo magnético normal, la ecuación que debemos  emplear es la cuarta ecuación de Maxwell en su forma integral.

La siguiente figura representa los dos medios con la superficie de frontera entre ellos, así como las componentes de B.

El desarrollo de la cuarta ecuación de Maxwell nos queda:

que es la cuarta condición de frontera para dos medios dieléctricos:

La componente normal de la densidad de campo magnético es continua, ya que lo que aparece en un medio es lo mismo a lo que aparece en el otro medio”.

Con esto terminamos toda la bolilla dedicada a las Condiciones de Frontera, como pudieron ver son temas sencillos solo hay que perderle el miedo a als ecuaciones de Maxwell.

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